结式（Resultant）公共根判定计算器
结式是判别两个多项式是否有公共根的代数工具：Res(f, g) = 0 当且仅当 f 与 g 有公根（或退化）。输入两组二次系数，看 Sylvester 行列式如何给出答案。
两个二次多项式的 Sylvester 结式：Res = 0 ⟺ 有公共根。
什么是结式计算器？
结式把"两多项式是否有公根"转化为一个行列式是否为零。
Sylvester 矩阵由两组系数错位排布而成，2 次 × 2 次是 4×4。
乘积表达：Res = a²·∏g(rᵢ)——把 g 在 f 的每个根上取值再相乘。
f 的判别式是结式的特例：Disc(f) = (−1)^(n(n−1)/2)·Res(f, f′)/a。
结式是消去理论的基石，可推广到方程组消元与代数几何。
Res(f, g) = a² · ∏ g(rᵢ) = b² · ∏ f(sⱼ)
rᵢ、sⱼ 分别为 f、g 的根；等价地是 Sylvester 矩阵的行列式。
如何使用结式计算器
- 1
输入 f(x) = a₂x²+a₁x+a₀ 与 g(x) = b₂x²+b₁x+b₀ 的六个系数。
- 2
结果区给出 Sylvester 4×4 行列式的值。
- 3
Res = 0 判定存在公共根，Res ≠ 0 判定无公根。
- 4
数值网格在 [−10, 10] 上复核，可见公共根的大致位置。
计算示例
例 1共根构造
f = x²−2、g = x²−3x+2（公根 1）：Res = 0，网格在 x = 1 处确认。
例 2互素情形
f = x²−3、g = x²−2：g 在 f 的两根 ±√3 处取值均为 1，Res = 1 ≠ 0，无公根。
注意事项
Res = 0 的两个来源：真公根，或首项系数同时为零（退化）——本工具要求首项非零。
结式关于 f、g 反对称：交换两者差一个符号因子。
数值行列式有舍入误差，接近零时建议用精确有理数运算复核。
判别式 Disc(f) = 0 ⟺ f 有重根，是结式的最重要特例。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-11
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GB/T 7714 格式
Calcton. 结式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/resultant, 2026-09-11.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-11。
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