Sturm 定理实根计数计算器
Sturm 定理回答"多项式在区间内恰有几个实根"：构造 Sturm 链，数链在各端点的符号变化差即可。输入三次多项式系数，看每个区间的实根计数。
三次多项式 p(x) = ax³ + bx² + cx + d，Sturm 链计数各区间实根。
什么是Sturm 链实根计数计算器？
Sturm 链由多项式与其导数、辗转相除的负余式序列构成。
链的核心性质：x 跨过一个根时，链的符号变化次数恰好加一。
于是区间内实根数 = 两端点符号变化数之差 V(a) − V(b)。
它给出精确计数（而非估计），是多项式求根算法中分离根的标准工具。
对三次多项式，链长为 4：p、p′、一个线性余式与一个常数。
p₀ = p，p₁ = p′，p_{k+1} = −rem(p_{k−1}, p_k)
区间 (a, b) 内实根数 = V(a) − V(b)，V 为链上的符号变化次数。
如何使用Sturm 链实根计数计算器
- 1
输入三次多项式 ax³+bx²+cx+d 的四个系数（a ≠ 0）。
- 2
结果区列出 (−∞,+∞)、(−∞,0)、(0,+∞)、(−1,1) 四个区间的实根数。
- 3
试 x³−2（一个实根）、x³−x（三个实根）、x³+x（一个根）。
- 4
结合求根公式或数值求根验证计数结果。
计算示例
例 1x³ − x
三实根 −1、0、1：全区间计数 3，(0,+∞) 计数 1，(−1,1) 计数 3。
例 2x³ − 2
唯一实根 ∛2 ≈ 1.26：(0,+∞) 计数 1，(−1,1) 计数 0。
注意事项
端点恰为根时需取略偏的试点或单独处理，本工具在大数端点取 ±10⁶ 避开根。
链中某项为零多项式时链提前终止，计数仍正确。
系数接近退化（重根）时符号判断要用足够小的容差。
高次多项式链更长，但方法完全相同，配合二分法可定位全部实根。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-11
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Calcton. Sturm 链实根计数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/sturm-theorem, 2026-09-11.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-11。
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