Stieltjes 常数计算器
一键计算 Stieltjes 常数 γ₀–γ₅：ζ(s) 在极点 s = 1 的洛朗展开系数，本工具对 400 万项前缀和做 Euler–Maclaurin 修正。
Stieltjes 常数 γₙ 是 ζ(s) 在 s = 1 处洛朗展开的系数：ζ(s) = 1/(s−1) + Σ(−1)ⁿγₙ(s−1)ⁿ/n!。本页对 400 万项前缀和做 Euler–Maclaurin 修正。
ζ 在极点旁的"指纹"
γ₀ = 0.5772156649…，γ₁ = −0.07281584548367672486…（OEIS A073002 附近段）
调和级数减 ln N 收敛到 γ₀，但把 (ln k)ⁿ 因子放进来后残余部分就是 γₙ——它们刻画 ζ(s) 靠近 s = 1 时每一阶的弯折程度。所有 γₙ（n ≥ 1）符号无规律：γ₁、γ₂ 为负，γ₃、γ₄、γ₅ 为正，γ₆ 又转负。Kummer 定理的 ln Γ 傅里叶展开系数正是 γₙ/π 的组合，出现在解析数论与渐近分析里。
什么是Stieltjes 常数计算器？
Stieltjes 常数是 ζ(s) 在单极点 s = 1 处洛朗展开的系数：ζ(s) = 1/(s−1) + γ₀ − γ₁(s−1) + γ₂(s−1)²/2! − …。γ₀ 就是欧拉–马歇罗尼常数 γ ≈ 0.577215664901533（调和级数与 ln N 之差的极限），γ₁ 起才是「真正的」Stieltjes 常数。
高阶 γₙ 可以从加权调和和里逼出来：γₙ = Σ(ln k)ⁿ/k − ln^(n+1)N/(n+1) − lnⁿN/(2N) + …。它刻画 ζ 靠近极点时每一阶的弯折，是解析数论与渐近分析的基本常数——Kummer 的 ln Γ 傅里叶展开系数正是 γₙ 的组合。
ζ(s) = 1/(s−1) + Σₙ₌₀^∞ (−1)ⁿ·γₙ/n!·(s−1)ⁿ
γₙ = lim(Σₖ≤N (ln k)ⁿ/k − ln^(n+1)N/(n+1))。γ₀ = γ = 0.577215664901533；γ₁ ≈ −0.0728158454836767；γ₂ ≈ −0.00969036319287232。
如何使用Stieltjes 常数计算器
- 1
点击「计算 γ₀ – γ₅」（约半秒，400 万次循环）。
- 2
查看 γ₀–γ₃ 程序值与 γ₄/γ₅ 文献值。
- 3
对照 Laurent 展开式理解系数含义。
- 4
需要更高阶精度时参考 OEIS A082633 系列。
计算示例
例 1γ₀
γ₀ = 0.5772156649015329（欧拉–马歇罗尼常数）。
例 2γ₁ ≈ −0.072815
γ₁ ≈ −0.07281584548367672486、γ₂ ≈ −0.00969036319287231848（均为负）。
例 3γ₃ ≈ 0.0020538
γ₃ ≈ 0.00205383442030334583、γ₄ ≈ 0.0023253700654673、γ₅ ≈ 0.000793323817301063（转正）。
注意事项
γₙ 的符号从 n = 1 起无规律：γ₁、γ₂ 为负，γ₃、γ₄、γ₅ 为正，γ₆ 又转负——与很多人「越来越小单调」的直觉相反。
直接前缀和每加十倍 N 约多得一位有效数字：本工具 N = 4,000,000 下 γ₀–γ₃ 有 7–9 位，γ₄/γ₅ 仅 6–7 位，故展示 OEIS 文献值。
注意记号差异：部分文献把展开式里的系数写成 (−1)ⁿγₙ/n!（本工具口径），有的把 1/n! 吸收进 γₙ 定义，数值会差 n! 倍。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-26
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Calcton. Stieltjes 常数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/stieltjes-constants, 2026-09-26.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-26。
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