斯特林公式
10! = 362 万，斯特林公式不用连乘就能估到误差 0.83%——大阶乘的救命近似。
什么是斯特林公式？
斯特林公式（Stirling's Approximation）：n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ。阶乘随 n 爆炸式增长（20! 已 19 位、70! 超双精度上限 1.8×10³⁰⁸），直接连乘很快溢出；斯特林公式把它转化为幂与开方，配合对数（ln n! ≈ n ln n − n + ½ln(2πn)）可以处理任意大的 n。
精度随 n 增大反而提升：n=10 时 10! = 3,628,800，斯特林近似 ≈ 3,598,696，相对误差 0.83%；n=100 时误差降到约 0.083%——误差按 1/(12n) 的速率衰减。需要更高精度可加修正项：n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ(1 + 1/(12n))，n=10 时误差立刻缩到 0.03%。
斯特林公式是统计物理与信息论的计算基石：熵的微观状态数 Ω 是天文数字的阶乘（玻尔兹曼 S = k ln Ω），只有 ln n! ≈ n ln n − n 才能让计算落地；组合数 C(n,k) 的渐近（二项分布中心项 ≈ 4ⁿ/√(πn)）、随机游走返回概率、熵编码极限推导，全都踩着斯特林公式。
斯特林公式（Stirling formula）由詹姆斯·斯特林 1730 年发表（棣莫弗同期给出等价形式），把阶乘这个离散乘积与连续函数 √(2πn)(n/e)ⁿ 联系起来。渐进等价的含义是两者比值随 n→∞ 趋于 1——误差虽在绝对值上增大，相对误差却以 1/(12n) 的速度消失。更精细的展开 n! ≈ √(2πn)(n/e)ⁿ(1 + 1/(12n) + 1/(288n²) − …) 每加一项精度提升一个量级。
它最重要的应用场景在「ln n! 而不是 n! 本身」：统计物理中熵公式 S = k·ln Ω 需要对巨型阶乘取对数（Ω 是 10²³ 量级的组合数），ln n! ≈ n ln n − n 是教科书每天的工具；信息论中计算组合熵、算法分析中估算排序下界 log₂(n!) ≈ n log₂n − 1.44n（归并排序 n log n 复杂度的理论根据）都靠它。需要精确阶乘值时用阶乘计算器。
n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ；ln n! ≈ n·ln n − n + ½·ln(2πn)
斯特林近似：n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ，等价对数形式 ln n! ≈ n·ln n − n + ½·ln(2πn)。例如 10! = 3 628 800，近似值 √(20π)×(10/e)¹⁰ ≈ 3598 695.6 ≈ 3.599×10⁶，相对误差仅约 0.83%；n = 100 时误差降到约 0.083%，随 n 增大按 1/(12n) 量级收敛。
| n | n! 精确值 | 斯特林近似 | 相对误差 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0.922 | 7.8% |
| 5 | 120 | 118.02 | 1.65% |
| 10 | 3 628 800 | 3 598 696 | 0.83% |
| 20 | 2.43×10¹⁸ | 2.42×10¹⁸ | 0.42% |
| 100 | 9.33×10¹⁵⁷ | 9.32×10¹⁵⁷ | 0.083% |
如何使用斯特林公式
- 1
输入非负整数 n。
- 2
点击计算，得精确值（可表示范围内）、斯特林近似与相对误差。
计算示例
例 1n = 10
精确值 10! = 3,628,800；斯特林近似 √(20π) × (10/e)¹⁰ ≈ 3,598,696；相对误差 ≈ 0.83%——不用 10 次连乘就拿到三位有效数字。
例 2对数形式估算 100!
ln(100!) ≈ 100×ln100 − 100 + ½×ln(200π) ≈ 460.52 − 100 + 3.22 = 363.74，即 100! ≈ e³⁶³·⁷⁴ ≈ 9.33×10¹⁵⁷——直接连乘早已溢出双精度，对数斯特林照样秒算。
例 3估算 50! 的数量级
ln 50! ≈ 50·ln 50 − 50 + ½·ln(100π) ≈ 50×3.912 − 50 + 2.875 ≈ 195.6 − 50 + 2.9 = 148.4。换成常用对数 ÷2.3026 ≈ 64.5，所以 50! ≈ 10^64.5 ≈ 3×10⁶⁴。精确值 3.041×10⁶⁴——误差不到 3%，而全程没有碰过大数乘法。
例 4排序算法的理论下界
比较排序要区分 n! 种排列，每次比较最多消除一半，故至少需要 log₂(n!) 次比较。用斯特林：log₂(n!) ≈ n·log₂n − n·log₂e ≈ n·log₂n − 1.44n。n = 1 000 000 时下界约 1.85×10⁷ 次比较——这解释了为什么快速排序的常数优化空间存在硬天花板。
例 5统计物理中的熵计算
N 个可区分粒子分到两个能级，微观状态数 Ω = N!/(N₁!N₂!)。N = 10²³ 时直接算阶乘不可能，用 ln Ω = ln N! − ln N₁! − ln N₂! ≈ N ln N − N₁ ln N₁ − N₂ ln N₂（n ln n − n 项相消），瞬间得到可计算的熵表达式 S = k·ln Ω，这就是玻尔兹曼熵公式的标准推导路径。
注意事项
n 越大相对误差越小（约 1/(12n)），n=1 时误差约 8%，小 n 慎用。
加修正项 (1 + 1/(12n)) 精度提升两个数量级，代价几乎为零。
实际计算大阶乘用对数形式：先算 ln n! 再取指数，绕过溢出。
70! ≈ 1.198×10¹⁰⁰ 是双精度浮点（≈1.8×10³⁰⁸）能直接表示的最大阶乘之一——171! 即溢出。
「近似」指相对误差趋零，绝对误差反而随 n 增大——说「斯特林公式很准」永远指相对意义。
小 n 时误差可观：n = 1 时误差 7.8%，n < 5 时建议直接算精确值，不要用近似。
对数形式 ln n! ≈ n ln n − n 常省略 ½·ln(2πn) 项——大 n 时该项占比可忽略，但 n = 10 时它贡献约 3% 修正，精度敏感场景不要省。
计算器直接算 n! 在 n > 170 时超出双精度浮点上限（170! ≈ 7.3×10³⁰⁶，溢出阈值约 1.8×10³⁰⁸），但斯特林近似可以继续估算到任意 n——这是它的工程价值之一。
不要对非整数直接套斯特林——伽马函数 Γ(n+1) 是阶乘的正确推广，斯特林公式同样给出其渐进行为。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-04-29
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Calcton. 斯特林公式[EB/OL]. https://www.calcton.com/stirling, 2026-04-29.
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参考来源与更新说明
本页公式与判定标准参考以下权威资料：
- Wikipedia - Stirlings approximation
- MathWorld (Wolfram) - Stirlings Approximation
- OpenStax University Physics - Statistical Mechanics（熵与阶乘对数的应用）
最后更新：2026-04-29。
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