盖塞尔超卡特兰数 S(m,n) 计算器
超卡特兰数 S(m,n) = (2m)!·(2n)! / (m!·n!·(m+n)!) 是卡特兰数的双变量推广： surprising 之处在于它对一切非负整数 m、n 恒为整数，这并非显然（分母里含 (m+n)!）。
盖塞尔超卡特兰数 S(m,n) 对一切非负整数 m、n 都是整数（von Szily 恒等式给出组合证明）。对角线上 S(n,n) 恰为中心二项系数 C(2n,n)：S(3,3) = 20，S(4,4) = 70。
什么是超卡特兰数 S(m,n) 计算器？
盖塞尔（Ira Gessel）超卡特兰数 S(m,n) 定义为 (2m)!·(2n)!/(m!·n!·(m+n)!)。它是对称的：S(m,n) = S(n,m)；对角线上 S(n,n) = C(2n,n) 正是中心二项系数，所以 S(3,3) = 20、S(4,4) = 70。
这个表达式「看起来」不一定是整数，但对一切 m、n 都整——1994 年 von Szily 用组合恒等式 S(m,n) = Σₖ C(2m, m−k)·R(m,n,k) 证明了整性，其中 R 是另一组整数。这条数阵也叫 super Catalan numbers（OEIS 相关序列）。
S(m,n) = (2m)!·(2n)! / (m!·n!·(m+n)!)
von Szily 1994 年给出组合证明：S(m,n) = Σ C(2m, 2k)·C(m, k)⁻¹·C(m,k)… 形式的整性恒等式。
如何使用超卡特兰数 S(m,n) 计算器
- 1
分别输入 m、n（0 到 400 的整数），点击「计算」。
- 2
结果区给出 S(m,n) 的精确值。
- 3
同时显示 S(m,m) = C(2m,m) 的对角线校验值。
- 4
交换 m、n 可验证对称性。
计算示例
例 1小参数验算
S(1,1) = 2!·2!/(1!·1!·2!) = 2；S(2,1) = 4!·2!/(2!·1!·3!) = 4；S(2,2) = 24·24/(2·2·24) = 6。
例 2非对角整性
S(4,2) = 8!·4!/(4!·2!·6!) = 28；S(5,3) = 90；S(6,4) = 308——分母整除分子，结果全部为整数。
例 3对角线退化
S(3,3) = 6!·6!/(6·6·6!) = 720/36 = 20 = C(6,3)，验证对角线即中心二项系数。
注意事项
「超卡特兰」一词在文献中有两个所指：本工具的双变量 S(m,n)（Gessel–von Szily）与单变量序列 1, 1, 1, 3, 26, 646…（A068555 等），引用时注意作者口径。
m = 0 时 S(0,n) = (2n)!/(0!·n!·n!) = C(2n,n)，退化为单变量中心二项系数。
本工具预计算 0! 到 1600!，支持 m、n 各到 400（2m+2n ≤ 1600），S(400,400) = C(800,400) 约 240 位。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-24
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引用本页
GB/T 7714 格式
Calcton. 超卡特兰数 S(m,n) 计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/super-catalan, 2026-09-24.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-24。
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