在线三角恒等式速查计算器

三角恒等式是对所有角度都成立的等式，是解三角方程、化简表达式、积分换元的「语法规则」。它们并非 25 条独立知识，而是一棵从单一根（单位圆上的勾股恒等式 sin²θ + cos²θ = 1）长出的树：和角公式是树干，把和角取特例就得到倍角公式，倍角移项开方就得到半角与降幂公式，两式相加减就得到积化和差——「背 25 条」实际上是「推 1 条、记 24 个推论」。

分层记忆的结构：第一层勾股三兄弟（sin²+cos²=1 及除以 cos²、sin² 的变体）；第二层和差四公式（sin(α±β)、cos(α±β)）；第三层倍角与降幂（sin2θ、cos2θ 的三种写法、sin²θ = (1−cos2θ)/2）；第四层诱导与积化和差（把 90°±θ、180°±θ 的符号规则与乘积变和差）。每一层都能从上一层两三步推出来，考前突击的效率远高于死记。

本工具把「验证」做成主功能：输入任意角度，每条恒等式的左边、右边同时求值并标出是否相等（容差 1e−9）。这比背公式更强的用处是「反查」——化简卡住时，把角度代进去扫描一遍，哪条恒等式在当前角度下数值对得上，提示你该往哪个方向变形。半角公式与倍角公式的独立计算器另有专门页面，此处覆盖整套体系速查。