三角换元（三类根式）积分计算器
被积函数含 √(a²−x²)、√(a²+x²)、√(x²−a²) 时，三角换元能把根式变成可消去的三角恒等式：x = a·sinθ、a·tanθ、a·secθ 各司其职。
什么是三角换元积分计算器？
三角换元的本质：用恒等式消去根号。
√(a²−x²) 型：令 x = a·sinθ，根式化为 a·cosθ。
√(a²+x²) 型：令 x = a·tanθ，根式化为 a·secθ。
√(x²−a²) 型：令 x = a·secθ，根式化为 a·tanθ。
换元后通常还要"回代"：用直角三角形把 θ 的函数写回 x。
x = a·sinθ ⇒ √(a² − x²) = a·cosθ
核心恒等式：sin²θ + cos²θ = 1、sec²θ − tan²θ = 1。
如何使用三角换元积分计算器
- 1
选择根式类型（三种）。
- 2
输入参数 a 与考察点 x。
- 3
结果给出对应角 θ、根式值与换元对照表。
- 4
示例定积分同时给出解析值与辛普森数值对照。
计算示例
例 1asin 型
a = 2、x = 1：θ = arcsin(1/2) = π/6；∫₀¹ dt/√(4−t²) = arcsin(1/2) = π/6 ≈ 0.5236。
例 2asinh 型
a = 1、x = 1：∫₀¹ √(1+t²)dt = √2/2 + asinh(1)/2 ≈ 1.1478，数值积分一致。
注意事项
每种类型有定义域限制：|x| < a、x ≥ 0、x > a。
θ 的取值范围要保证反函数单调：arcsin 取 [−π/2, π/2]。
定积分换元时积分限也要跟着变，或算完再回代。
双曲换元（x = a·sinh t）在 √(a²+x²) 型上有时更简洁。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-12
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Calcton. 三角换元积分计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/trig-substitution, 2026-09-12.
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最后更新：2026-09-12。
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