Trigamma 函数计算器
输入 x ≠ 0、−1、−2… 的数值，本计算器用「下移 + 渐近展开」给出 trigamma 的 12 位值，x ≥ 10 时误差小于 10⁻¹⁰。
关键值
ψ₁(1) = π²/6；ψ₁(1/2) = π²/2；ψ₁(2) = π²/6 − 1；反射：ψ₁(1−x) + ψ₁(x) = π²/sin²(πx)
trigamma 是 digamma 的导数、gamma 的二阶对数导数 ψ₁ = ψ′ = Γ″/Γ − ψ²。贝叶斯统计里 Gamma 分布的 Fisher 信息恰是 ψ₁(shape)；随机变量「卡方分布的期望对数」经 ψ₁ 联系自由度；排队论中服务率倒数的方差估计也用它。递推 ψ₁(x+1) = ψ₁(x) − 1/x² 与 ψ 完全平行。
什么是Trigamma 函数计算器？
trigamma 是 digamma 的导数：ψ₁ = ψ′，即 gamma 对数导数的斜率。级数定义 ψ₁(x) = Σ1/(k+x)² 对所有 x ∉ {0, −1, −2, …} 收敛。
关键值成对出现：ψ₁(1) = π²/6、ψ₁(1/2) = π²/2、ψ₁(2) = π²/6 − 1。递推 ψ₁(x+1) = ψ₁(x) − 1/x² 让任意正 x 归约到这些锚点。
统计里它是 Gamma 分布形状参数的 Fisher 信息：GLM 回归、贝叶斯先验更新中的期望 Fisher 信息都由 ψ₁ 承担；排队论里的服务强度方差估计同样如此。
在 x = 0、−1、−2… 处 ψ₁ 有二阶极点（比 ψ 的一阶极点更陡），负非整数用反射式 π²/sin²(πx) − ψ₁(1−x) 计算。
ψ₁(x) = d²/dx² ln Γ(x) = Σ (k=0→∞) 1/(k+x)²
递推 ψ₁(x+1) = ψ₁(x) − 1/x²；反射 ψ₁(1−x) + ψ₁(x) = π²/sin²(πx)；渐近 ψ₁(x) ≈ 1/x + 1/(2x²) + 1/(6x³) − 1/(30x⁵)。
如何使用Trigamma 函数计算器
- 1
输入 x（避开 0 与负整数）。
- 2
点击「计算 ψ₁(x)」。
- 3
读取 12 位结果。
- 4
需要 ψ 或 η 时切换到 digamma / eta 计算器。
计算示例
例 1ψ₁
ψ₁(1) = π²/6 ≈ 1.644934——正是巴塞尔问题的数值。
例 2ψ₁
ψ₁(0.5) = π²/2 ≈ 4.934802——反射式在 x = 1/2 处的对称验证。
例 3ψ₁
ψ₁(10) ≈ 0.105166335681686——渐近 1/10 + 1/200 + 1/6000 ≈ 0.105167 已可见精度。
注意事项
x > 0 时 ψ₁ 凸且单调递减，且 ψ₁(x) > 1/x 恒成立——常用于不等式放缩。
负整数处是「朝上」的二阶极点：ψ₁ 从两侧同时发散到 +∞。
计算大 x 时先递推下移再展开，与 digamma 完全同构；直接求和 10⁶ 项只得到 10⁻⁶ 精度。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-26
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Calcton. Trigamma 函数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/trigamma-function, 2026-09-26.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-26。
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