Ulam 数列（Ulam Sequence）计算器
Ulam 数列从 1、2 出发，此后每个新数必须是「两个更小的 Ulam 数之和」且表示方法唯一：1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28…，由 Stanisław Ulam 1964 年提出。
前 20 项（A002842）
1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69
第 100 个 Ulam 数是 690，第 1000 个是 12294。每个成员都有唯一的「两个更小成员之和」表示。
什么是Ulam 数列计算器？
Ulam 数列（Ulam sequence）U(1,2) 是这样生成的：从 1 和 2 开始，之后每个成员都是「两个更小的成员之和」，且表示法恰好唯一。5 = 1+4 = 2+3 有两种表示被淘汰；6 = 2+4 唯一入选。前 20 项：1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69。
这个简单规则产生了惊人的神秘行为：经验上相邻 Ulam 数的间隔稳定在 13.51 上下（Ulam 猜测密度存在），但序列整体结构至今没有严格证明。Ulam 当年构想它是为了寻找「比素数更 chaotic 又有统计规律」的加法结构，如今它成为加法数论与自动机研究的标准测试床。
u₁ = 1, u₂ = 2；uₙ 为大于 uₙ₋₁ 中使 uₙ = uᵢ + uⱼ（i < j，uᵢ,uⱼ 为已有 Ulam 数）恰有一种表示的最小数
实现上维护「和的出现次数」哈希表：扫描候选直到某数计数恰为 1，即为下一个 Ulam 数（计数 ≥ 2 的候选被永久淘汰）。
如何使用Ulam 数列计算器
- 1
在输入框填入 K（1 到 1000），点击「生成」。
- 2
结果区给出第 K 个 Ulam 数与前若干项预览。
- 3
表格列出前 20 项便于观察「间隔渐宽再稳定」的现象。
- 4
改变起点（如 U(1,3)）需手工推导，本工具固定经典 U(1,2)。
计算示例
例 1为什么没有 5 和 7？
5 = 1+4 = 2+3（两种表示，淘汰）；7 = 1+6 = 2+5? 5 不是成员，7 = 1+6 = 3+4（两种，淘汰）。8 = 2+6 = 1+7? 7 不是成员，8 = 2+6 唯一——入选。唯一性检查必须在全部成员上进行。
例 2里程碑值
第 100 个 Ulam 数是 690，第 500 个是 5685，第 1000 个是 12294。平均间隔先增大后收缩，围绕 13.5 波动——这正是 Ulam 1964 年论文观察的现象。
例 3不同的起点大不同
U(1,2) 有密度；U(4,7) 被证明恰好是所有正整数的有限并集之补（Finch 研究），U(1,4) 的行为至今未定——起点差一点，命运天壤之别。
注意事项
「恰有一种表示」中的两数必须不同（uᵢ ≠ uⱼ）：2uₙ 不能用同一个数加自己，因此 4 = 2+2 不靠自身翻倍进入，而是 4 = 1+3 唯一入选。
候选扫描从上一个成员 +1 开始：所有小于当前候选且计数为 1 的数已在之前入列，哈希表保证 O(K²) 复杂度内完成 K = 1000。
Ulam 数不单调等差也不稀疏：密度经验值约 0.0739（每 13.5 个整数出一个），这与素数（密度→0）本质不同。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-24
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Calcton. Ulam 数列计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/ulam-number, 2026-09-24.
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最后更新：2026-09-24。
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