Wieferich 素数计算器
Wieferich 素数是满足 a^(p−1) ≡ 1 (mod p²) 的素数 p——比费马小定理多要求一层整除。对 a = 2，十万个以内只有 1093 与 3511 两例，是数论中最稀有的对象之一。
Wieferich 素数是满足 a^(p−1) ≡ 1 (mod p²) 的素数 p。对 a = 2，已知 10¹⁷ 以内仅有 1093 与 3511；对 a = 3 为 11，a = 5 为 20771、40487。费马商 qₚ(a) = (a^(p−1) − 1)/p 在这些 p 上被 p 整除，与 ABC 猜想及费马大定理第一情形的历史相关。
什么是Wieferich 素数计算器？
费马小定理说素数 p 整除 a^(p−1) − 1；Wieferich 素数进一步要求 p² 也整除它。这类素数极其稀有：对 a = 2，已知 10¹⁵ 以内仅 1093 与 3511 两个（Meissner 1913、Beeger 1922）。它们也是「非 Wieferich 素数占绝大多数」这一表述的反例库。
Wieferich 1909 年证明：若费马大定理第一情形 x^p + y^p = z^p 有解（p ∤ xyz），则 p 必为 a = 2 的 Wieferich 素数——因此 1093 与 3511 一度成为 FLT 研究的中心。今天该条件与 ABC 猜想、Silverman 非退化猜想等深度问题相连。
a^(p−1) ≡ 1 (mod p²)，等价于费马商 qₚ(a) = (a^(p−1)−1)/p ≡ 0 (mod p)
Meissner (1913) 发现 1093，Beeger (1922) 发现 3511；10¹⁵ 内再无其他（GIMPS 式搜索延续至今）。
如何使用Wieferich 素数计算器
- 1
输入底数 a（2 到 10）与上限 N（3 到 100000），点击「计算」。
- 2
结果区列出 ≤ N 的所有满足 a^(p−1) ≡ 1 (mod p²) 的素数 p。
- 3
a = 2 应得到 1093 与 3511；换 a = 3、5、7 可看到不同分布。
- 4
大数模幂用快速幂精确计算，无浮点误差。
计算示例
例 1验证 1093
2^1092 mod 1093² = 1：快速幂经约 11 次平方即得，这是 Meissner 1913 年的手算壮举。
例 2a = 3 的分布
a = 3 时 ≤100000 只有 11：3^10 = 59049 ≡ 1 (mod 121)。已知下一个 3-Wieferich 素数是 1006003。
例 3a = 5 与 a = 7
a = 5：20771、40487；a = 7：5。不同底数的 Wieferich 素数分布毫无规律，这正是其魅力。
注意事项
本工具枚举奇素数 p ≥ 3；p = 2 时 a^(p−1) mod p² = a mod 4，会因 a ≡ 1 (mod 4) 混入非典型情形，故排除。
判定用 BigInt 快速幂：p² ≤ 10¹⁰，单次模幂约 34 次乘法，N = 100000 全域约需一秒内。
「Wieferich 素数」默认 a = 2；指定其他 a 时应称「a-Wieferich 素数」或 base-a Wieferich prime。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-24
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Calcton. Wieferich 素数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/wieferich-prime, 2026-09-24.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-24。
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