凯莱公式计算器
n 个城市之间架设 n−1 条线路使全部连通，有多少种方案？凯莱公式给出答案：n^(n−2)。
凯莱公式：n 个带标号顶点的完全图共有 n^(n−2) 棵生成树，与 Prufer 序列一一对应。
什么是凯莱公式计算器？
凯莱公式计算完全图 Kₙ 的生成树总数：n^(n−2)。
证明的核心是 Prufer 编码：反复删去树中标号最小的叶子，把其邻居记入序列，直到只剩两个顶点——这个 n−2 长的序列与树一一对应。
更一般的计数工具是矩阵树定理（Kirchhoff）：拉普拉斯矩阵任意主子式的行列式就是生成树数，它适用于任意图而不只是完全图。
生成树数 = n^(n−2)
1889 年凯莱用 Prufer 序列双射证明：每棵树唯一对应一个长度 n−2 的序列，每个位置有 n 种取值。
如何使用凯莱公式计算器
- 1
输入顶点数 n（2–300）。
- 2
点击计算，输出 n^(n−2) 的精确值（BigInt，超过 40 位自动截断显示位数）。
- 3
对照小规模验证：n = 3 有 3 棵星形树，n = 4 有 16 棵。
- 4
理解 Prufer 序列：每个位置 n 种选择，长度 n−2，总数 n^(n−2)。
计算示例
例 1n = 4
4^(4−2) = 16 棵生成树：4 棵星形（中心分别为 1–4）+ 12 棵路径形（4! / 2 = 12 条路径，每个路径被双向计数）。
例 2n = 10
10^8 = 100000000 棵——指数增长非常快，n = 20 时已是 20^18 ≈ 2.6×10²³。
注意事项
凯莱公式只对完全图成立；一般图的生成树计数用矩阵树定理。
Prufer 序列中第 i 个顶点出现的次数 = 它在树中的度数减 1——由此可反推树的结构。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-14
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Calcton. 凯莱公式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/cayley-formula, 2026-09-14.
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最后更新：2026-09-14。
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