柯西凝聚判别法计算器

原理：柯西凝聚判别法：正项单调递减级数 ∑aₙ 与「二倍步长」级数 ∑2ᵏa₂ₖ 同敛散。对 aₙ = 1/(n(ln n)ᵖ)，凝聚项为 2ᵏ/(2ᵏ(ln 2ᵏ)ᵖ) = 1/(k ln2)ᵖ——一个 p 级数，于是 p > 1 收敛、p ≤ 1 发散，一步厘清对数因子之争。

步骤：输入指数 p 与凝聚项数 K；对照凝聚和与原级数部分和的量级；观察 p 越过 1 时两者从「缓慢增长」到「收敛饱和」的转变。

示例：p = 1 时凝聚项 1/(k ln2)，前 50 项和 = H₅₀/ln2 ≈ 6.490981229549，与调和级数一样发散；p = 1.5 时 k = 3 的凝聚项 (3 ln2)^(−1.5) = 0.333487781283，凝聚和收敛到 ζ(1.5)/(ln2)^1.5 ≈ 4.282106830544；p = 0.5 时两级数都发散。

注意事项：判别法要求 aₙ 正且单调递减（n ≥ 2 起即可，因为 ln 1 = 0）；原级数收敛极慢（p 略大于 1 时尾部贡献巨大），部分和只能看趋势不能当真值；凝聚思想反过来也可用——把难算的离散和放大到二倍格点上。

相关：积分判别法工具给出同款结论的积分版本；比较判别法工具处理逐项放缩；黎曼 zeta 函数工具给出 ζ(1.5) 等参照值；p 级数工具是凝聚后的落脚点。