Dawson 积分计算器
输入任意实数 x，本计算器计算 Dawson 积分 F(x) = e^(−x²)∫₀ˣ e^(t²) dt：|x| ≤ 6 用幂级数、x > 6 用渐近展开，交界处双路径互证。
Dawson 积分 F(x) = e^(−x²)·∫₀ˣ e^(t²) dt，是误差函数 erf 的"去饱和"近亲，在 x → ∞ 时按 1/(2x²) 衰减。
谱线展宽与朗道阻尼
F(1) = 0.5380795069127684；F(2) = 0.3013403889237919；F(6) = 0.0845426889745377
Maxwell 速度分布遇上洛伦兹碰撞，卷积出的 Voigt 谱线其核心正是 Dawson 函数——多普勒展宽 F(x) 与洛伦兹展宽 1/(1+x²) 的组合。等离子体里朗道阻尼的色散关系 Z(x) = 2iF(x) − 实虚部纠缠；激光物理的增益饱和同样用它。直接对 e^(t²) 数值积分会指数爆炸，必须靠级数（|x| ≤ 6）与渐近（x > 6）双路径接力。
什么是Dawson 积分计算器？
Dawson 积分 F(x) = e^(−x²)∫₀ˣ e^(t²) dt 是误差函数的「去饱和」近亲：直接算 erfi 会随 x 指数爆炸（erfi(x) ≈ e^(x²)/(√π x)），乘上 e^(−x²) 后 F(x) 在 x → ∞ 时只按 1/(2x²) 温和衰减，峰值 F(0.924) ≈ 0.541 出现在 x < 1 处。
它是谱线形状理论的核心：Maxwell 速度分布（多普勒展宽）与洛伦兹碰撞展宽卷积出的 Voigt 线型，其无量纲化核心正是 F；等离子体的朗道阻尼色散关系 Z(x) = 2iF(x) + 边界项、激光增益饱和同样由它供数。
F(x) = e^(−x²)·∫₀ˣ e^(t²) dt = (√π/2)·e^(−x²)·erfi(x)
奇函数 F(−x) = −F(x)；F(0) = 0；F(x) ≈ 1/(2x)·(1 + 1/(2x²) + 3/(2x²)² + …) 当 x → ∞。F(1) ≈ 0.538079506912768。
如何使用Dawson 积分计算器
- 1
在输入框填写 x（任意实数）。
- 2
点击「计算 F(x)」。
- 3
查看 F(x)；|x| 在 5–6 时查看级数与渐近的双路径互证。
- 4
对照定义行理解与 erfi 的关系。
计算示例
例 1F
F(1) ≈ 0.538079506912768；F(0.5) ≈ 0.424436383502018。
例 2F
F(2) ≈ 0.301340388923792；F(6) ≈ 0.0845426889745377（级数与渐近在此互证一致）。
例 3F
F(−1) ≈ −0.538079506912768（奇函数）；F(10) ≈ 0.0502538471876。
注意事项
对 e^(t²) 直接数值积分会指数爆炸：x = 6 时 e³⁶ ≈ 4×10¹⁵，x = 10 时 e¹⁰⁰ ≈ 2.7×10⁴³——必须级数/渐近双路径，不能硬积分。
Dawson 级数 F(x) = Σₖ x^(2k+1)/(k!(2k+1)) 各项同号，收敛半径无穷；但 x > 6 时大项吞噬有效数字，故切换渐近路径。
渐近式 1/(2x)(1 + 1/(2x²) + 3/(2x²)² + …) 对任意固定 x 都发散，本工具只取 14 项——x > 6 时最末项已小于 1e-16。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-26
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Calcton. Dawson 积分计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/dawson-integral, 2026-09-26.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-26。
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