高斯-勒让德求积计算器
高斯求积（Gaussian Quadrature）用精心挑选的节点与权重，做到 n 个点精确积分 2n−1 次多项式——比同等点数的梯形/中点法则精度高一个量级。本计算器内置勒让德节点，演示对 e^x 的积分。
什么是高斯求积计算器？
高斯求积的节点不是均匀分布的，而是勒让德多项式的零点，权重由拉格朗日插值积分给出。
n 点高斯公式对不超过 2n−1 次的多项式完全精确——2 点就能精确积分三次多项式。
它是有限元、工程仿真与统计计算中最常用的求积框架的基础。
∫[−1,1] f(t) dt ≈ Σ w_i · f(x_i)，节点 x_i 为勒让德多项式 P_n 的零点
一般区间 [a,b] 通过线性映射 t = (2x − a − b)/(b − a) 转换；本计算器自动处理映射。
如何使用高斯求积计算器
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第一步：选择点数（2、3、4 或 5 点）。
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第二步：输入积分区间 a、b（被积函数固定为 e^x 以便对照精确值）。
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第三步：查看近似值、精确值 e^b − e^a 与代数精度说明。
计算示例
例 12 点求积 ∫₀¹ e^x dx
2 点高斯给出 1.7182818…，精确值 e − 1 ≈ 1.718281828。误差约 3.6×10⁻⁴，而 2 点中点/梯形误差在 10⁻¹ 量级。
例 23 点求积 ∫₀¹ e^x dx
3 点高斯的代数精度是 5 次，对 e^x 误差骤降到 8×10⁻⁶——每加一点，精度台阶式提升。
注意事项
节点与权重在 [−1,1] 上是标准表值；一般区间需要映射，本计算器已内置。
n 点公式无法精确积分 2n 次多项式——精度上限由代数精度刻画。
高斯节点都在区间内部（不含端点），因此天然回避端点奇性，但内部奇点仍需拆分。
对振荡函数或间断函数，单段高斯会失准，实用中用复合高斯（分段小区间）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-10
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Calcton. 高斯求积计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/gauss-quadrature, 2026-09-10.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-10。
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