中点法则数值积分计算器
中点法则（Midpoint Rule）是最直观的数值积分方法：把区间分成 n 等份，用每个小区间中点处的函数值乘以宽度求和。它只用一次函数求值每格，却常比同格数的梯形法则更准。
什么是中点法则计算器？
中点法则属于黎曼和家族：以小区间中点高度画矩形，用矩形面积之和逼近曲线下面积。
对光滑函数，其误差按 h² 速度下降——分割数翻倍，误差约降为四分之一。
与梯形法则相比，中点法则每格只需一次函数求值，且对多数函数误差更小。
∫[a,b] f(x) dx ≈ h · Σ f(m_i)，其中 h = (b−a)/n，m_i 为第 i 个小区间的中点
误差约为 (b−a)·h²·M/24，M 是 |f″| 在区间上的上界；与梯形法则同阶但系数减半且方向相反。
如何使用中点法则计算器
- 1
第一步：选择被积函数（x²、sin x、e^x、1/x 或 √x）。
- 2
第二步：输入积分下限 a、上限 b 与分割数 n。
- 3
第三步：查看近似值、精确值、绝对误差与误差上界公式说明。
计算示例
例 1∫₀¹ x² dx
取 n = 10：中点法则给出 0.3325，精确值 1/3 ≈ 0.333333，误差约 8.3×10⁻⁴，与理论误差界一致。
例 2∫₀^π sin x dx
精确值 2。n = 100 时中点法则误差约 1.6×10⁻⁴，而相同 n 的梯形法则误差约 3.3×10⁻⁴，恰好是两倍关系。
注意事项
1/x 在含 0 的区间上无界，计算前请避开奇异点。
误差公式中的 M 是二阶导数上界：函数越"弯"，误差越大。
中点法则对单调凸函数系统性偏低或偏高，误差符号由 f″ 的符号决定。
复合中点法则（大 n）是许多生产级数值库的默认起点。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-10
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-10。
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