曲棍球杆恒等式计算器
帕斯卡三角形第 2 条对角线上 1+3+6+10 = 20，恰好是斜下一格的 C(6,3)——沿斜边扫过去，终点就是答案，形状像一根曲棍球杆。
什么是曲棍球杆恒等式计算器？
曲棍球杆恒等式是什么：帕斯卡三角形里，沿第 r 条对角线从 C(r,r) 一路加到 C(n,r)，总和恰是「杆头」C(n+1, r+1)。图形上像一根球杆：长柄是斜边，杆头是终点右下角。
为什么成立：反复套帕斯卡法则：C(n+1,r+1) = C(n,r+1) + C(n,r) = C(n−1,r+1) + C(n−1,r) + C(n,r) = … 一路展开即得 telescoping 式求和——本质是「逐层剥洋葱」。
有什么组合证明：数「最大元素恰为 i+1 的 r+1 元子集」：C(i,r) 个，i 从 r 到 n——按最大元素分类的 r+1 元子集总数就是 C(n+1, r+1)。
经典应用是什么：握手问题变体：n 个人两两握手总数的求和、竞赛积分榜的累计场次、以及 Σi² = n(n+1)(2n+1)/6 的组合推导都顺手可得。
Σ_{i=r}^{n} C(i, r) = C(n+1, r+1)
帕斯卡三角形内：第 r 条对角线从 C(r,r) 到 C(n,r) 之和 = 右下角 C(n+1,r+1)
如何使用曲棍球杆恒等式计算器
- 1
输入对角线编号 r 与终点行 n（n ≥ r）。
- 2
点击「计算」，列出 C(r,r) 到 C(n,r) 各项。
- 3
读取沿斜边求和结果。
- 4
对比 C(n+1, r+1) 验证相等。
计算示例
例 1例：r=3, n=7
C(3,3)+C(4,3)+C(5,3)+C(6,3)+C(7,3) = 1+4+10+20+35 = 70 = C(8,4) ✓。r=0 时退化为 1+1+…+1 = n+1 = C(n+1,1)，也吻合。
注意事项
r = 0 时「斜边」是三角形最左列的全 1，和为 n+1——别误以为恒等式只对 r ≥ 1 成立。
求和方向：从第 r 行到第 n 行（下标 i 是行号也是组合的第一个数）。
大 n 时 C(n+1,r+1) 用 BigInt 直接算，与逐项累加结果精确一致。
它也是 Σi、ΣC(i,2) 等幂和公式的来源：C(i,2) = i(i−1)/2。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-20
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Calcton. 曲棍球杆恒等式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/hockey-stick-identity, 2026-09-20.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-20。
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