莱布尼茨判别法计算器

原理：莱布尼茨判别法（交错级数判别法）：若 bₙ 单调递减且趋于 0，则 ∑(−1)ⁿ⁺¹bₙ 收敛。它自带误差控制——真值总夹在相邻两个部分和之间，且余项不超过被舍弃的第一项：|R_N| ≤ b_{N+1}。

步骤：确认级数形如 ∑(−1)ⁿ⁺¹/nᵖ；输入指数 p 与项数 N；读取部分和与余项上界；若需要给定精度 ε，只需取 N 使 1/(N+1)ᵖ < ε。

示例：交错调和级数（p = 1）的 S₁₀ = 0.645634920635，余项上界 1/11 = 0.090909090909，真值 ln 2 ≈ 0.6931；交错平方级数（p = 2）的 S₅ = 0.838611111111，真值 π²/12 ≈ 0.822467033424，误差 0.016144077687 不超过 b₆ = 1/36。

注意事项：判据要求 bₙ 最终单调——前几项不规则不影响结论；bₙ 不趋于 0 时级数必然发散（项判别法）；p ≤ 0 不收敛；余项界是上界而非精确误差，实际误差通常更小；交错级数可能只是条件收敛（如 p = 1），取绝对值后发散。

相关：交错级数工具给出一般交错级数的性质；狄利克雷判别法工具把莱布尼茨作为特例统一；调和数工具对照 p = 1 的发散速率；比值判别法工具处理通项含阶乘的情形。