多项式求值计算器
输入多项式系数与求值点 x，用秦九韶算法逐层计算多项式的值，显示完整迭代过程。
什么是多项式求值计算器？
秦九韶算法把多项式写成嵌套形式：2x³−3x²+4x−1 = ((2x−3)x+4)x−1。从内向外逐层「乘 x 加系数」，n 次多项式只需 n 次乘法和 n 次加法——比逐项计算快一倍。
这个 800 年前的中国算法（秦九韶《数书九章》，1247 年）是计算机多项式求值的工业标准：CPU 计算 sin、cos 的泰勒级数、求根算法的函数评估，内核都是这个结构。
秦九韶算法出自南宋秦九韶《数书九章》（1247 年），把多项式改写成嵌套形式 f(x) = ((…(aₙx + aₙ₋₁)x + …)x + a₁)x + a₀，从里向外逐层求值。西方称之为霍纳法则（Horner, 1819），比秦九韶晚了 572 年——这是中国古代算法对世界数学的实打实的贡献，秦九韶的"正负开方术"还顺带解决了高次方程数值求根，比牛顿迭代早五百多年。
为什么说它是计算机的标准做法？三点理由：乘法次数从 n(n+1)/2 降到 n，复杂度减半；不计算高次幂，浮点误差不会随幂次爆炸式放大；循环结构整齐，一行代码即可实现，且天然支持流水线。数值分析教材（如 Trefethen & Bau）都把它列为多项式求值的默认算法，MATLAB 的 polyval、NumPy 的 polyval 内部都是它。
它和综合除法本质是同一件事：秦九韶的中间系数 b₀…bₙ₋₁ 恰好是 f(x) ÷ (x − c) 的商式系数，bₙ 就是余数——由余数定理，f(c) = bₙ。这意味着求值、除法、因式分解三个任务被同一个循环统一了。想专门看除法过程可用综合除法计算器；牛顿法求多项式根时，每次迭代都用秦九韶同时算出 f(x) 与 f′(x)，见牛顿迭代法计算器。
b₀ = aₙ；bₖ = bₖ₋₁·x + aₙ₋ₖ；f(x) = bₙ。嵌套形式：f(x) = ((…(aₙx+aₙ₋₁)x+…)x+a₁)x+a₀。
例：f(x) = 2x³ − 6x² + 2x − 1，求 f(3)。秦九韶算法：b₀ = 2；b₁ = 2×3 − 6 = 0；b₂ = 0×3 + 2 = 2；b₃ = 2×3 − 1 = 5。f(3) = 5。仅需 3 次乘法 3 次加法，直接代入则需 6 次乘法。
| 方法 | 乘法次数 | 加法次数 | 浮点误差 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 直接代入 | n(n+1)/2 次 | n 次 | 较大（高次幂放大误差） | 低次手工验算 |
| 秦九韶算法 | n 次 | n 次 | 较小（逐步压缩） | 计算机标准做法 |
| 并行求值 | n 次 | n 次 | 较小 | Estrin 方案，多核优化 |
| 多点批量 | n·m 次 | n·m 次 | 较小 | m 个点同时求值 |
| 导数同步 | n 次 | n 次 | 较小 | 外层循环即得 f′(x) |
如何使用多项式求值计算器
- 1
输入多项式系数（降幂，逗号分隔，缺项补 0）。
- 2
输入求值点 x。
- 3
点击「计算」，查看迭代过程与函数值。
计算示例
例 1f(x) = 2x³−3x²+4x−1，求 f(2)
b₀=2；b₁=2×2−3=1；b₂=1×2+4=6；b₃=6×2−1=11。f(2) = 11。直接验证：16−12+8−1 = 11 ✓
例 2f(x) = x⁴−5x²+3，求 f(3)
系数 [1,0,−5,0,3]：1 → 3 → 3×3−5=4 → 12 → 39。f(3) = 81−45+3 = 39 ✓
例 3手工执行一次完整迭代
f(x) = x⁴ − 2x³ + 3x² − 4x + 5，求 f(2)。b₀=1；b₁=1×2−2=0；b₂=0×2+3=3；b₃=3×2−4=2；b₄=2×2+5=9。f(2) = 9。验证：16 − 16 + 12 − 8 + 5 = 9，一致。
例 4同步求出导数值
承接上例，用 b 序列再跑一轮秦九韶即得 f′(2)：c₀=1；c₁=1×2+0=2；c₂=2×2+3=7；c₃=7×2+2=16。f′(2)=16。这正是牛顿法每次迭代的标准操作，一次多项式求值顺带拿到导数。
例 5计算机图形学中的真实场景
三次贝塞尔曲线在每个像素都要对参数 t 求值，屏幕渲染每秒调用数百万次。若直接算 t³，仅 1080p 画面每帧就多出约 200 万次乘法；改用秦九韶嵌套后渲染耗时立降。游戏引擎的曲线动画全部依赖这个 800 年前的算法。
注意事项
缺项必须补 0：x⁴+1 的系数是 [1,0,0,0,1]。
秦九韶算法与综合除法是同一张表：最后一个数既是 f(x) 也是除以 (x−x₀) 的余数。
高次多项式直接代入易溢出，秦九韶算法每步数值可控，数值稳定性更好。
导数值 f′(x₀) 可用同一张表再扫一遍求得。
缺项必须补零：f(x) = x³ + 1 的系数序列是 [1, 0, 0, 1]，漏掉零系数会导致整体错位、结果全错。
系数按降幂排列输入：从最高次到常数项，与嵌套形式的展开顺序一致。
x 为负数时符号自然处理：嵌套形式 (ax + b)x 中的 x 直接带符号代入即可，无需额外规则。
大 x 与高次多项式仍可能溢出：秦九韶减少误差但不能消除数据本身的条件数问题，|x| 很大时建议用对数或缩放技巧。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-04-30
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-04-30。
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