范德蒙德恒等式计算器

范德蒙德恒等式说什么：C(m+n, k) = Σᵢ C(m,i)·C(n,k−i)。从 A、B 两组合计 m+n 件里选 k 件：A 组贡献 i 件、B 组贡献 k−i 件，i 从 0 到 k 遍历求和——分类不重不漏，故两边相等。

它和二项式定理什么关系：(1+x)^(m+n) = (1+x)^m(1+x)^n 两边展开 xᵏ 系数：左边是 C(m+n,k)，右边正是卷积 ΣC(m,i)C(n,k−i)——恒等式就是「系数乘法=卷积」的化身。

推广有哪些：广义版 ΣC(r,i)C(s,n−i) = C(r+s,n) 对任意实数 r,s 成立；超几何分布的卷积闭合、分球入盒计数都靠它；Chu 1736 年（朱世杰 1303 年）更早发现——中文名「朱-范德蒙德恒等式」。

什么时候最常用：超几何概率（不放回抽样的成功数分布）求和恰好为 1：ΣC(K,i)C(N−K,n−i) = C(N,n)——范德蒙德是它的理论基础。