均值不等式计算器（AM ≥ GM ≥ HM）
对任意一组正数，四种均值的大小关系永远成立：平方均值 ≥ 算术均值 ≥ 几何均值 ≥ 调和均值。这条不等式链是初等不等式的核心工具：证明极端值、估算乘积上限、解释"为什么平均速度用调和均值"，都靠它。
什么是AM-GM 不等式计算器？
AM 是"加起来平均"，GM 是"乘起来开方"，HM 是"倒数平均再倒回来"，QM 是"平方平均"。四者从不同角度概括数据，且永远被不等式链锁定顺序。
n = 2 时最直观：(a+b)/2 ≥ √(ab)——两数和固定时乘积在相等时最大，这是最优化问题的原型。
应用直觉：往返平均速度必须用 HM（时间加权）；投资多期收益率用 GM（几何复利）；误差合成用 QM（平方和）。
AM = (Σxᵢ)/n，GM = (Πxᵢ)^(1/n)，HM = n/Σ(1/xᵢ)，QM = √(Σxᵢ²/n)；QM ≥ AM ≥ GM ≥ HM，等号当且仅当全部相等
几何均值通过对数求和再取指数计算，避免连乘溢出；等号检验容差 1e-9。
如何使用AM-GM 不等式计算器
- 1
输入一组正数（逗号或空格分隔）。
- 2
读取四种均值与不等式链验证结果。
- 3
看 AM − GM 差值衡量数据离散度：全相等时取等，差越大越分散。
计算示例
例 1往返速度陷阱
去程 60、回程 40：平均速度不是 50，而是调和均值 2·60·40/(60+40) = 48——时间在慢的一侧花得更多。
例 2围栏最大面积
周长固定 40 的矩形：边 a 与 20-a，面积 ≤ ((a+(20-a))/2)² = 100，当 a = 10 取等——AM-GM 一步得最值。
例 3投资复利
两年收益 +50% 与 -50%：算术均值 0%，几何均值 √(1.5·0.5) − 1 ≈ -13.4%，真实累计亏损 25%，GM 才是真相。
注意事项
所有输入必须为正数：零或负数会让 GM、HM 失去定义或翻转方向。
AM-GM 的等号条件极为严格：全部数相等才取等，其余情况严格小于。
数据含极端小值时 HM 对它极其敏感（被最小值拖拽），这正是"木桶效应"的数学表达。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-10
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GB/T 7714 格式
Calcton. AM-GM 不等式计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/am-gm, 2026-09-10.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-10。
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