对数积分 li(x) 计算器
输入 x > 0（x ≠ 1），本计算器用恒等式 li(x) = Ei(ln x) 计算对数积分，并对照素数定理 π(x) ≈ li(x) 的实测计数。
对数积分 li(x) = ∫₀ˣ dt/ln t = Ei(ln x)——素数定理的主角：小于 x 的素数个数 π(x) ≈ li(x)。
素数计数的"最佳近似"
π(x) ~ li(x)（素数定理）；Riemann 改进版 R(x) = Σ μ(n)li(x^(1/n))/n 更贴真实计数
高斯 15 岁时盯着素数表猜出 π(x) ≈ li(x)，一个世纪后被哈达玛与德拉瓦莱-普桑证明（素数定理）。li 在 x = 1 有奇点、在 (1, x) 区间的积分取柯西主值；x < 1 时 ln t 为负，li 取负值。工程中 li 也出现在信号处理与统计的 score 函数里，但它的名声全部来自素数分布。
什么是对数积分 li(x) 计算器？
对数积分 li(x) = ∫₀ˣ dt/ln t，被积函数在 t = 1 处有对数奇点（x > 1 时按柯西主值理解）。它与指数积分由恒等式 li(x) = Ei(ln x) 直接相连，因此求值可以完全复用 Ei 的双路径算法。
它是素数定理的主角：π(x)（不超过 x 的素数个数）~ li(x)。高斯 15 岁时盯着素数表猜出这个近似，一个世纪后由阿达马与德拉瓦莱-普桑证明。li(10) ≈ 6.166 对 4 个素数、li(1000) ≈ 177.61 对 168 个素数——越往大数走相对误差越小。
li(x) = ∫₀ˣ dt/ln t = Ei(ln x)（x = 1 处取柯西主值）
li(2) ≈ 1.045163780117493；li(e) = Ei(1) ≈ 1.895117816355937；li(10) ≈ 6.165599504787296；li(1000) ≈ 177.609657990152。奇点在 x = 1。
如何使用对数积分 li(x) 计算器
- 1
在输入框填写 x（x > 0 且 x ≠ 1）。
- 2
点击「计算 li(x)」。
- 3
查看 li(x) 与 Ei(ln x) 的恒等式对照。
- 4
查看素数计数对照行（10 → 4 个、1000 → 168 个）。
计算示例
例 1li
li(2) ≈ 1.045163780117493（素数定理在 x = 2 已给出 1.045 对 1 个素数的量级）。
例 2li
li(10) ≈ 6.165599504787296，实测 π(10) = 4；li(100) ≈ 30.126，实测 π(100) = 25。
例 3li
li(1000) ≈ 177.609657990152，实测 π(1000) = 168——相对误差 5.7%。
注意事项
x < 1 时 ln t 为负，li(x) 取负值；x 恰为 1 时对数奇点使积分发散，本工具拒绝 x = 1。
li(x) 在 x ≈ 1.45137 处过零（Riemann R 函数与 li 的差），此后恒正且增长快于 x/ln x。
更精确的近似是黎曼 R 函数 R(x) = Σ μ(n)li(x^(1/n))/n（默比乌斯函数加权），在 x = 10⁹ 内与 π(x) 的偏差不过几十。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-09-26
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Calcton. 对数积分 li(x) 计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/logarithmic-integral, 2026-09-26.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-09-26。
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