阿基米德割圆术计算器
阿基米德用内接与外切正 96 边形把 π 夹在 3 又 10/71 与 3 又 1/7 之间。输入边数 n，即可复现这条两千多年前的逼近之路。
原理：单位圆内接正 n 边形周长为 2n·sin(π/n)、外切为 2n·tan(π/n)，两者分别夹住圆周长 2π；因此 π 被夹在 n·sin(π/n) 与 n·tan(π/n) 之间，边数翻倍区间大约缩小 4 倍。
步骤：① 输入边数 n（阿基米德用 96 边形）；② 计算上下界；③ 查看区间宽度评估精度。
示例：n = 96 时得 3.141031950891 < π < 3.142714599645，区间宽约 0.00168，正是阿基米德「3 又 10/71 与 3 又 1/7 之间」的来源。
注意事项：n 很大时 tan(π/n) 的浮点计算稳定，但外切界对舍入更敏感；本方法收敛速度与韦达公式相当（每翻倍约多得一位十进制数字）。
相关：韦达公式可视为割圆术的解析极限；尼拉坎塔与格雷戈里-莱布尼茨级数则用解析级数路径逼近 π。
什么是阿基米德割圆术计算器？
割圆术思想：圆周长被内接正多边形周长从下方逼近、被外切正多边形周长从上方逼近，边数越多夹得越紧。
阿基米德（公元前 287–212）用 96 边形得到 3.1408 < π < 3.1429，即 3 又 10/71 与 3 又 1/7。
他用的是不含三角函数的纯几何不等式（有理上下界），本工具用现代三角函数直接计算同一区间。
n·sin(π/n) < π < n·tan(π/n)（单位圆）
内接多边形周长 2n·sin(π/n)、外切 2n·tan(π/n)，分别夹住圆周长 2π。
如何使用阿基米德割圆术计算器
- 1
第一步：输入正多边形边数 n（≥3）。
- 2
第二步：点击计算得到下界 n·sin(π/n) 与上界 n·tan(π/n)。
- 3
第三步：查看区间宽度评估精度；边数翻倍宽度约缩为四分之一。
计算示例
例 1n = 6
内接六边形给出下界 3，上界 2√3 ≈ 3.4641——阿基米德的起点。
例 2n = 96
3.141031950891 < π < 3.142714599645，区间宽约 0.00168。
例 3n = 1000
区间宽度缩至约 1.3×10^-5，π 夹在 3.1415924 与 3.1416054 之间。
注意事项
本方法每将边数翻倍约多得一位十进制数字，与韦达公式收敛速度相当。
阿基米德时代的挑战在于开平方：他需要反复用有理数逼近 √3 等无理量。
外切界 tan(π/n) 在 n 很大时数值上很稳定，但几何上外切多边形周长更难构造。
下界与上界都单调向 π 收敛：下界递增、上界递减。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-03
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最后更新：2026-10-03。
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