韦达公式计算器
韦达公式是人类历史上第一个精确的 π 无穷表达式：2/π 等于无穷个余弦因子的乘积。输入乘积项数，即可看到部分积如何一步步逼近 0.636619772368。
原理：韦达 1593 年给出 2/π = cos(π/4) · cos(π/8) · cos(π/16) ⋯，每一项都是用半角公式从单位圆反复二分得到的无穷乘积，是人类历史上第一个精确的 π 无穷表达式。
步骤：① 选乘积项数 n；② 计算前 n 项部分积；③ 与 2/π ≈ 0.636619772368 对比误差。
示例：n = 10 时 P(10) ≈ 0.636620022039，与 2/π 相差约 2.5×10^−7；n = 20 时误差已缩小到 10^−12 量级。
注意事项：该乘积每增加一项误差约缩小一半的对数尺度，20 项之后双精度浮点已无法继续改善；若用普通浮点逐项相乘，注意从大项往小项乘以减少舍入累积。
相关：阿基米德割圆术同样用二分多边形逼近 π；无穷乘积工具给出 Π(1+c/k^p) 型乘积的敛散判定。
什么是韦达公式计算器？
韦达公式由法国数学家弗朗索瓦·韦达于 1593 年发表，把 2/π 写成无穷个余弦因子之积：2/π = cos(π/4)·cos(π/8)·cos(π/16)⋯。
每个因子的几何意义：单位圆内接正多边形边数逐次翻倍时，边长与直径之比的连乘积趋近 2/π。
它比莱布尼茨级数早了近一个世纪，也是无穷乘积记号进入数学的标志性起点。
2/π = Π(k=1→∞) cos(π/2^(k+1)) = (√2/2)·(√(2+√2)/2)·(√(2+√(2+√2))/2)⋯
每个因子都由半角公式从上一项二分得到，是割圆术的解析极限形态。
如何使用韦达公式计算器
- 1
第一步：输入乘积项数 n（建议 5 到 25，超过 25 后双精度已无法改善精度）。
- 2
第二步：点击计算，得到前 n 项部分积 P(n)。
- 3
第三步：对比精确值 2/π ≈ 0.636619772368，查看误差。
计算示例
例 1n = 10
P(10) ≈ 0.636620022039，与 2/π 相差约 2.5×10^-7。
例 2n = 20
P(20) ≈ 0.636619772368，误差已进入 10^-12 量级。
例 3手算验证
只取一项：cos(π/4) = √2/2 ≈ 0.7071，已把 π 估计到 2.8 附近；取到第三项即得 3.06。
注意事项
误差每增加一项大约缩小为原来的四分之一量级（二分结构的典型收敛率）。
浮点逐项相乘时建议从小项乘起可略减舍入累积，但差别在 20 项内可忽略。
韦达公式与阿基米德割圆术同源：多边形边数翻倍的极限就是该乘积。
它收敛到 2/π 而非 π，计算 π 需要取倒数乘 2。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-03
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-10-03。
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