格雷戈里-莱布尼茨级数计算器
格雷戈里-莱布尼茨级数是最著名的 π 交错级数：π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ⋯。它形式极简却收敛极慢——项数扩大 10 倍，误差只缩小约 10 倍。
原理：莱布尼茨 1674 年发现 π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ⋯，即 arctan(1) 的麦克劳林展开；它是交错级数，因此部分和永远在真值两侧摆动，误差不超过下一个被舍弃项 1/(2n+3)。
步骤：① 输入求和项数 n；② 计算部分和并乘 4 得 π 估计；③ 对比误差随 n 的衰减速度。
示例：n = 100 时 4·S ≈ 3.151493401071，误差约 0.0099；n = 1000 时误差约 0.000999——项数扩大 10 倍误差只缩小 10 倍，收敛极慢。
注意事项：要得到 6 位正确数字需要约 50 万项，实际计算 π 应使用尼拉坎塔级数、马青公式或 AGM 迭代；本工具的价值在于直观展示条件收敛级数的慢收敛特性。
相关：尼拉坎塔级数同项数下误差小一个数量级；莱布尼茨判别法（207 批）解释了该级数为何保证收敛。
什么是格雷戈里-莱布尼茨级数计算器？
格雷戈里-莱布尼茨级数把 π/4 写成交错分数和 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ⋯，源于 arctan x 的麦克劳林展开在 x = 1 处取值。
它是条件收敛级数的教科书案例：本身收敛，但绝对值级数（调和级数）发散。
詹姆斯·格雷戈里 1671 年发现展开式，莱布尼茨 1674 年独立得到并给出 π/4 特例。
π/4 = Σ(k=0→∞) (−1)^k / (2k+1)，即 arctan(1)
收敛性由交错级数判别（莱布尼茨判别法）保证，余项不超过首个舍弃项。
如何使用格雷戈里-莱布尼茨级数计算器
- 1
第一步：输入求和项数 n。
- 2
第二步：点击计算得到 4·S(n) 作为 π 的估计值。
- 3
第三步：对比误差，尝试 n = 100、1000、10000 感受 O(1/n) 的慢收敛。
计算示例
例 1n = 100
4·S(100) ≈ 3.151493401071，误差约 0.0099（百分位才对）。
例 2n = 1000
误差约 0.0009990007，十分位对一位——项数与精度同阶。
例 3误差上界
交错级数余项不超过下一个舍弃项 1/(2n+3)，n = 1000 时上界约 5×10^-4。
注意事项
收敛速度是 O(1/n)：想要 6 位正确数字需要约 50 万项，实用价值低但理论意义大。
部分和永远在 π 两侧摆动（奇数项偏高、偶数项偏低），这是交错级数的典型行为。
实际计算 π 应使用马青公式 arctan(1/2)+arctan(1/3) 或 AGM 迭代，收敛快几个数量级。
该级数对理解「条件收敛」极有价值：重排它的项可以得到任何目标和（黎曼重排定理）。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-03
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引用本页
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Calcton. 格雷戈里-莱布尼茨级数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/gregory-leibniz, 2026-10-03.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-10-03。
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