自守数计算器

自守数（automorphic number）满足 n² 的十进制表示以 n 结尾，即 n² ≡ n (mod 10^d)。它是「平方运算的不动点」：25 平方得 625，尾巴没变；76 平方得 5776，尾巴没变。

结构上自守数是中国剩余定理的活教材：n² ≡ n (mod 10^d) 等价于 n 在 mod 2^d 与 mod 5^d 下各自幂等（0 或 1）。除平凡解 0、1 外，混合解每档位数恰好一对——末位 5 的（x ≡ 1 mod 2^d、x ≡ 0 mod 5^d）与末位 6 的（对调）。

小例子一网打尽：≤ 1000 共 7 个：1, 5, 6, 25, 76, 376, 625。其中 376² = 141376、625² = 390625；放大到 ≤ 10⁶ 共 11 个，最大 890625（890625² = 793212890625）。

5 系与 6 系可以无限续位成「自守数对」：…0625 与…9376，它们是 10^∞ 的两个非平凡幂等元，在 p-adic 数 Z₁₀ 里有严格意义。无穷自守数 5ᵏ 系与 6ᵏ 系的每一位都由 CRT 唯一确定。

本工具输入 n 直接判定（计算 n² 检查尾数），或输入上限 N 枚举全部自守数并列出 n²。