梅森素数计算器
形如 2^p − 1 的数叫梅森数，其中为素数者叫梅森素数。它是已知最大素数 exclusively 的出处——GIMPS 项目用 Lucas-Lehmer 检验把纪录推到千万位级。工具对任意 p ≤ 600 执行精确检验。
原理：M_p = 2^p − 1 形如梅森数。M_p 是素数的必要条件是 p 素数；Lucas-Lehmer 检验给出充分条件：从 s₀ = 4 开始迭代 s ← s² − 2 (mod M) 共 p−2 次，结果为 0 当且仅当 M 素。
步骤：输入指数 p，工具用 BigInt 精确执行 Lucas-Lehmer 序列并给出判定与序位。
示例：p = 7 得 M = 127（素）；p = 11 得 M = 2047 = 23 × 89（合）；p = 61 对应第 9 个梅森素数。
注意事项：p 合数时 M 必为合数（如 2^4 − 1 = 15），所以只需检验素指数；人类已知 52 个梅森素数，最大的是 2^136279841 − 1（2024 年发现），它们也是已知最大的素数纪录保持者。
参考值：M(7) = 127；2047 = 23 × 89；已知指数共 52 个，自 2 至 136279841。
什么是梅森素数计算器？
梅森数 M(p) = 2^p − 1 因马林·梅森 1644 年的猜想表得名。p 必须是素数才有机会素（2⁶ − 1 = 63 = 7×9 一眼即合），但 p 素也不保证素：M(11) = 2047 = 23×89 就是著名的反例。
Lucas-Lehmer 检验（1878）是这个家族的专属利器：从 s = 4 开始反复做 s ← s² − 2（模 M(p)），p − 2 步后 s ≡ 0 当且仅当 M(p) 是素数。它把「大数素性」化成几百次模平方，是 GIMPS 能分布式搜索千万位素数的根本原因。
梅森素数与完全数一一对应：欧拉证明每个偶完全数形如 2^(p−1)·(2^p − 1) 且 2^p − 1 素。截至 2024 年已知 52 个梅森素数，指数从 2 起到 136279841——最新纪录 2^136279841 − 1 有 4100 多万位。
为什么偏偏是梅森数霸榜？因为 2^p − 1 的二进制结构（全 1）让模平方运算高效，且 Lucas-Lehmer 比通用检验（如 ECPP）快几个数量级。
本工具输入指数 p（≤ 600，BigInt 精确），输出 M(p) 的十进制与二进制、Lucas-Lehmer 判定、合数时的素因数分解，以及它在已知 52 指数表中的排名。
M(p) = 2^p − 1；Lucas-Lehmer：s₀ = 4，sᵢ = (sᵢ₋₁² − 2) mod M(p)，共 p − 2 步；M(p) 为素数 ⟺ s_{p−2} ≡ 0 (mod M(p))
前提 p 必须是素数（p 合则 2^p − 1 必合）；检验用 BigInt 精确模幂，无浮点误差。
如何使用梅森素数计算器
- 1
输入指数 p（正整数，建议 ≤ 600）。
- 2
点击检验得到 M(p) = 2^p − 1 的值、素性判定（Lucas-Lehmer）与分解。
- 3
对照已知指数表（2, 3, 5, 7, 13, …, 136279841）查看 M(p) 是否在册。
计算示例
例 1M(7) 与 M(11)
M(7) = 127 是素数（第 5 个梅森素数）；M(11) = 2047 = 23 × 89 是合数——p = 11 素但 M(11) 不素。已知指数共 52 个，自 2 至 136279841。
注意事项
p 合数时可直接排除（2^ab − 1 含因式 2^a − 1），所以检验流程先查 p 素性再跑 Lucas-Lehmer。
梅森素数是否无穷多仍是未解问题；目前启发式（Wagstaff 猜想）估计指数 x 以内约有 e^γ·log₂x 个。
51 个偶完全数已由前 51 个梅森素数生成，第 52 个梅森素数对应的完全数超过 8200 万位——完全数 hunters 跟着 GIMPS 走。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-01
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引用本页
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Calcton. 梅森素数计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/mersenne-primes, 2026-10-01.
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参考来源与更新说明
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最后更新：2026-10-01。
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