SOR 松弛迭代计算器（Successive Over-Relaxation Calculator）
SOR（逐次超松弛）给高斯-赛德尔装上一个「油门旋钮」ω：新解 = (1 − ω)·旧解 + ω·高斯-赛德尔步。ω = 1 退回高斯-赛德尔，1 < ω < 2 加速外推，ω ≥ 2 对任何矩阵都发散——本工具让你亲眼看到这根数学跷跷板。
原理：SOR（逐次超松弛）在高斯-赛德尔步与旧值之间做加权平均 x⁽ᵏ⁺¹⁾ = (1 − ω)x⁽ᵏ⁾ + ω·GS 步；ω = 1 退化为高斯-赛德尔，ω < 1 叫低松弛（更稳更慢），1 < ω < 2 叫超松弛（通常更快），ω ≥ 2 对任何矩阵都发散。
步骤：① 输入矩阵与右端向量；② 设定 ω；③ 对比不同 ω 下的轮数，找经验最优值。
示例：对 A = [[4, 1, 0], [1, 5, 1], [0, 1, 4]]、b = [6, 14, 14]，ω = 1 时与高斯-赛德尔完全一致，ω = 1.2 时 17 轮收敛到 10⁻¹⁰，而 ω = 2.1 会数值发散——Ostrowski-Reich 定理的现场演示。
注意事项：最优 ω ≈ 2/(1 + √(1 − ρ²))（ρ 为雅可比谱半径），但依赖未知量 ρ，实践中靠试算；本矩阵本身收敛很快，超松弛收益小——SOR 的威力在大型差分方程系数阵上。
相关：高斯-赛德尔计算器是 ω = 1 的特例；雅可比计算器给出谱半径的参照；共轭梯度类方法在大规模问题上常优于 SOR。
什么是SOR 松弛迭代计算器？
SOR（Successive Over-Relaxation）把高斯-赛德尔的一步与旧值做凸组合：ω = 1 完全信任新步（即高斯-赛德尔），ω < 1 叫低松弛（更稳更慢，用于不稳定的非线性问题），1 < ω < 2 叫超松弛（沿收敛方向外推，通常更快）。
Ostrowski-Reich 定理给出硬边界：对称正定矩阵上当且仅当 0 < ω < 2 时 SOR 收敛——ω ≥ 2 无论矩阵多好都发散。这个「2」是方法的天花板，不是经验值。
最优松弛因子 ω_opt = 2/(1 + √(1 − ρ_J²))（ρ_J 是雅可比谱半径）：ρ_J 越接近 1，ω_opt 越接近 2，超松弛的收益越大。差分方程产生的大型三对角块系统正是 SOR 的主场。
x⁽ᵏ⁺¹⁾ = (1 − ω)·x⁽ᵏ⁾ + ω·[(D − L)⁻¹U·x⁽ᵏ⁾ + (D − L)⁻¹b]
对称正定阵当且仅当 0 < ω < 2 时收敛；理论最优 ω_opt = 2/(1 + √(1 − ρ_J²))。
如何使用SOR 松弛迭代计算器
- 1
按行输入 2 到 8 阶系数矩阵与等长右端向量。
- 2
输入松弛因子 ω（0 到 3；建议先试 1，再试 1.2、1.5 对比轮数）。
- 3
点击「SOR 迭代求解」，读解向量、轮数与状态；对同一矩阵换不同 ω，找出轮数最少的经验最优值。
计算示例
例 1ω = 1 即高斯-赛德尔
A = [[4, 1, 0], [1, 5, 1], [0, 1, 4]]、b = [6, 14, 14]：ω = 1 时 SOR 与高斯-赛德尔完全一致，13 轮收敛到 10⁻¹⁰——加权公式在 ω = 1 处的退化正是自检基准。
例 2ω = 1.2 反而更慢
同一矩阵 ω = 1.2 需要 17 轮——比 ω = 1 的 13 轮还多。原因：该矩阵雅可比谱半径仅 0.316，最优 ω ≈ 1.025 几乎就是 1，任何明显超松弛都「用力过猛」。
例 3ω = 2.1 发散演示
ω = 2.1 时迭代分量按约 1.1 的倍数增长，几百轮内冲破 10¹² 阈值，状态行报告「发散」——Ostrowski-Reich 定理的现场版：对称正定也救不了 ω ≥ 2。
注意事项
ω 的甜点区随矩阵变化：本例矩阵最优 ω ≈ 1.025，而五点差分拉普拉斯的 ω_opt 接近 1.7——调 ω 必须针对具体矩阵试算。
ω_opt 公式依赖未知的 ρ_J，实践中常用「轮流试 1.1 到 1.9 记录轮数」的经验搜索；轮数-ω 曲线在 ω_opt 附近陡峭，宁小勿大。
ω < 1（低松弛）在非线性方程与某些积分方程迭代中用于抑制振荡，线性正定问题上没有加速作用。
ω ≥ 2 发散是定理不是现象：若你的矩阵非对称正定，0 < ω < 2 也可能发散——定理只保证充分性方向的可控性。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-04
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最后更新：2026-10-04。
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