渐近展开计算器（Stirling 与调和数）
很多重要的量（阶乘的对数、调和数）没有初等闭式，但它们在 n 大时有一套逐阶精化的「渐近展开」：主导项给出量级，每加一项误差缩小一个幂次。本计算器对两个最著名的展开——Stirling 公式与调和数渐近——逐阶求值并对照精确值。
原理：渐近展开把函数写成主导项加逐级修正的形式——Stirling 公式 ln n! = n ln n − n + ½ln(2πn) + 1/(12n) − 1/(360n³) + ⋯，调和数 H_n = ln n + γ + 1/(2n) − 1/(12n²) + 1/(120n⁴) − ⋯。
步骤：① 选展开类型；② 输入 n；③ 对比各阶截断与精确值的距离，观察误差逐阶缩小。
示例：n = 10 时 ln(10!) 精确值 15.104412573076，0 阶 Stirling 给 15.096082009642（差约 8×10^−3），加 1/(12n) 后差缩至 2.8×10^−6；H_10 精确 2.928968253968，三阶渐近已几乎重合。
注意事项：渐近级数一般发散——固定 n 不断加项最终会越加越差，正确用法是在最小项处截断；n 越大可用阶数越多，n = 100 时两阶修正误差已低于 10^−8。
相关：Stirling 近似工具给出 n! 本身的近似；Euler-Maclaurin 公式计算器是调和数渐近的系统化来源；大 O 记号计算器用主导项做复杂度分类。
什么是渐近展开计算器？
渐近展开是把函数写成「主导项 + 逐级修正项」的形式：对 ln n!，主导项 n ln n − n + ½ln(2πn) 由 Stirling 给出，其后每项都是 n 的负幂次；n 越大，可用的修正阶数越多。
调和数 H_n = 1 + 1/2 + ⋯ + 1/n 同样没有闭式，但 H_n = ln n + γ + 1/(2n) − 1/(12n²) + ⋯ 的展开收敛极快：n = 100 时两阶修正后误差已低于 10⁻⁸。
渐近级数与普通收敛级数的区别在于：固定 n 不断加项最终会越加越差（级数发散），正确用法是在绝对值最小的那一项处截断——n 越大，最优截断阶数越高。
ln n! = n·ln n − n + ½·ln(2πn) + 1/(12n) − 1/(360n³) + ⋯；H_n = ln n + γ + 1/(2n) − 1/(12n²) + 1/(120n⁴) − ⋯
γ ≈ 0.5772156649 为欧拉-马歇罗尼常数；工具按阶数 0/1/2/3 分别截断。
如何使用渐近展开计算器
- 1
在类型框输入 stirling（算 ln n!）或 harmonic（算 H_n），在 n 框输入规模。
- 2
点击计算后，工具同时给出 0 阶（仅主导项）、1 阶、2 阶（Stirling 到 1/(360n³)、H_n 到 1/(120n⁴)）与精确值的对照。
- 3
对比各阶与精确值的差，直观感受「加一阶、误差缩小约 n² 倍」的渐近规律。
计算示例
例 1ln(10!) 的三阶对照
精确值 15.104412573075516；0 阶 Stirling 给 15.096082009642156，差约 8.3×10⁻³；加上 1/(12n) 后差缩至 2.8×10⁻⁶——n 只有 10，一阶修正已把相对误差压到 2×10⁻⁷。
例 2H_10 的逐阶逼近
H_10 = 2.9289682539682538；仅 ln 10 + γ 给 2.8823，加 1/(2n) 得 2.9298，再加 −1/(12n²) 得 2.92897——三阶后与精确值几乎重合。
例 3大 n 的威力
n = 100 时 H_n 的两阶渐近（ln 100 + γ + 1/200 − 1/120000）与精确和的差小于 10⁻⁸，而直接累加 100 项反而受浮点舍入限制——渐近法在大 n 时既快又准。
注意事项
渐近级数一般发散：固定 n 加项加到某一阶后误差回升，截断应停在最小项处；本工具限最多 3 阶修正，在常用规模下均未越过最优截断点。
Stirling 展开逼近的是 ln n! 而非 n! 本身——直接算 n! 在 n = 171 就溢出双精度，取对数后 n 可到天文数字，这正是概率与统计里到处用 Stirling 的原因。
调和数展开中的欧拉常数 γ 无法用有限初等运算表达，实现中取 0.5772156649015329（双精度可达的精度）。
n 很小（如 n = 3）时渐近展开意义有限：主导项误差可达百分之几，此时直接用精确和更好；渐近法的舞台是 n 至少几十以上的场景。
常见问题
参考资料
凯文内容作者Calcton 数学编辑组 口径审核Calcton 编辑组 交叉审核· 内容更新于 2026-10-04
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Calcton. 渐近展开计算器[EB/OL]. https://www.calcton.com/asymptotic-expansion, 2026-10-04.
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最后更新：2026-10-04。
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